A construção correcta é «Vivam os Açores!».

Em primeiro lugar, lembremos que o nome do arquipélago, ou da região autónoma, é um plural – Os Açores –, levando o verbo para a 3.ª pessoa do plural. Por exemplo: «Os Açores integram a União Europeia com o estatuto de região ultraperiférica do território da União, conforme estabelecido no artigo 299.º-2 do Tratado da União Europeia.»

Quando à expressão «Viva!», ela não é mais do que uma forma do verbo viver, devendo, pois, concordar com o sujeito. A exemplo da expressão «Morra!», do verbo «morrer» («Morram os traidores!»), «Viva!» deverá seguir a regra geral da concordância verbal: «Viva a rainha!», «Vivam os príncipes!», «Vivam os republicanos!», «Vivam os monárquicos!», «Vivamos nós!».