Deve dizer «É terminantemente proibido fumar nesta escola!».
O advérbio terminantemente significa «De uma forma imperativa, que não admite recusa ou qualquer outra opção; de modo terminante.» (Dicionário da Língua Portuguesa Contemporânea, Edições Verbo). Por isso, é usado frequentemente em frases imperativas.
O uso do advérbio determinantemente é mais raro, usando-se com mais frequência o adjectivo ou o particípio presente que lhe correspondem(determinante): «Apontou alguns factos determinantes na evolução do processo»; «A opinião do pai acabou por ser determinante na sua opção» ( Dicionário da Língua Portuguesa Contemporânea, Edições Verbo, Lisboa).
Como tal, a palavra determinantemente relaciona-se com factor, influência, razão de ser, causa, motivo, etc.