Antes de mais, será importante saber em que contexto a expressão é usada, pois pode ter mais do que um significado. Aqui apresentaremos apenas três exemplos.

1. Arestas pode aludir a uma personalidade difícil, com problemas de relacionamento, e, nesse caso, «aparar as arestas» pode querer dizer «tentar a conciliação; o acordo; etc.».

2. Outro significado para a mesma palavra é «detalhes», e «aparar as arestas» pode querer dizer «tratar de detalhes; de pormenores; etc.»

3. Por último, a mesma expressão pode ter um significado mais literal, sendo que uma aresta é também «qualquer saliência natural de formas angulosas; quina, esquina, bordo formado pela interseção das superfícies de abóbadas, prego quase sem cabeça usado por sapateiros e vidraceiros, saliência do terreno de forma mais ou menos aguda, que se estende por uma área de dimensões variadas...». Desta forma, «aparar as arestas» pode significar «aparar/limar/desbastar uma saliência».

Quanto à origem da expressão, não é possível determinar a origem factual ou identificar o seu autor. No entanto, é fácil perceber que se trata de uma metáfora que identifica os actos de conciliação com a actividade de limar uma peça ou objecto para os aperfeiçoar.

Fonte:
Dicionário Houaiss da Língua Portuguesa