Os números irracionais são todos aqueles que não se podem exprimir como um quociente entre dois números inteiros (0,1,2,3,4,etc.. mais os inteiros negativos -1,-2,-3,-4,etc.). Os exemplos mais óbvios são raiz de 2, raiz de 3, etc., o pi e o e ("e=2.718281828459..." é o número de Neper).

Foram os gregos a descobrir que nem todos os números são racionais, como eles inicialmente pensaram. Esta descoberta foi feita através de um triângulo rectângulo com catetos de comprimento 1. Para tal triângulo, usando o teorema de Pitágoras, facilmente se descobre que a hipotenusa tem comprimento igual à raiz de dois. Até aqui tudo bem. Pensava-se que este número podia ser expresso como uma fracção de dois inteiros, mas um argumento simples mostra que tal assumpção conduz a uma contradição, pelo que raiz de dois não é racional.

Este argumento adapta-se facilmente ao caso de inteiros que não são quadrados perfeitos (3,5,6,7,8,10,11,12,13,14,15,17,etc.). Já é mais difícil mostrar que pi é irracional, mas possível.

E quanto a números irracionais não há muito mais a dizer, excepto que há "muito mais" números irracionais do que racionais. Apesar de tanto os racionais como os irracionais serem em número infinito. Isto não é óbvio, por exemplo existem tantos números inteiros como racionais, embora a intuição diga o contrário; ou ainda mais flagrante, existem tantos números pares como números inteiros... O que isto quer dizer é que se pode estabelecer uma relação unívoca entre os números inteiros e os racionais (a cada inteiro associa-se um e um só número racional, e vice versa). O mesmo não é possível fazer com os irracionais e os racionais. Isto só foi demonstrado muito mais tarde (no séc.XIX) pelo matemático alemão Cantor.

Já agora talvez não saiba a origem do termo números irracionais. Chama-se assim, em contraste com os números racionais, porque não se podem exprimir como uma razão de dois números inteiros -- sendo os números racionais aqueles que são o "racio" de dois números inteiros.