A análise sintática da frase é a seguinte:
Sujeito: «Os livros»
Predicado: «divertem-me»
«divertem» — verbo
«me» — complemento direto.
A sintaxe do verbo divertir — quer como transitivo direto1 (cf. Dicionário Gramatical dos Verbos Portugueses, da Texto Editores, 2007, p. 336) quer como verbo psicológico2 (cf. Inês Duarte, no cap. 12 da Gramática da Língua Portuguesa, Lisboa, Caminho, 2003, p. 607) — seleciona um argumento interno com a relação gramatical de complemento direto.
1 Tanto com o valor/sentido de distrair [«Os puzzles divertem as crianças»] como com o de alegrar [«Os seus disparates divertem os colegas»], o verbo divertir é transitivo direto, selecionando um complemento direto: «as crianças» (em «Os puzzles divertem as crianças»), «os colegas» (em «Os seus disparates divertem os colegas»).
2 Segundo Inês Duarte (op. cit.), divertir é um dos verbos psicológicos [tal como admirar, afligir, alegrar, assustar, aterrorizar, cansar, encantar, entusiasmar, entristecer, espantar, incomodar, inquietar, irritar, ofender, perturbar, preocupar, surpreender] que se «constroem com um objeto/complemento direto nominal e um sujeito frásico, que ocorre preferencialmente em posição final da frase complexa, o que determina a ordem linear — V SN (compl. direto) X F (completiva) —» (Mira Mateus et al., Gramática da Língua Portuguesa, p. 607), de que são exemplos as frases:
"Admira-me (muito) que ela não te tenha convidado."
"Encanta-o (sempre) que o cumprimentem na sua língua materna."
"Preocupa-os (imenso) que os filhos ainda não tenham dado notícias."»
