Estão ambas correctas. São formas do verbo “ser”. “Fui” é a 1.ª pessoa do singular do Pretérito Perfeito Simples do Indicativo, e “era”, a 1.ª pessoa do singular do Pretérito Imperfeito do Indicativo.
A escolha de uma ou de outra tem que ver com a intenção de quem as utiliza.
Se pretender colocar a acção no passado em relação ao presente, deverá utilizar o Pretérito Perfeito (“fui”): “Penso que fui uma criança feliz.” O mesmo, se pretender relatar, narrar acontecimentos passados, em sequência: “Eu ri, brinquei, convivi, enfim, fui uma criança feliz.” O Pretérito Perfeito Simples indica uma acção que se produziu em certo momento do passado, uma acção completamente concluída.
Se pretender colocar a acção no passado em relação de simultaneidade com outro passado, deverá utilizar o Pretérito Imperfeito (“era”): “Quando o meu pai me contava histórias, eu era uma criança feliz.”; “Quando acampei pela primeira vez, eu era uma criança feliz.” Nesta época passada, está descrever-se o que era então presente. Com o Pretérito Imperfeito caracteriza-se, descreve-se, indica-se um facto contínuo ou permanente: “Olho para o passado e vejo bem como eu era feliz!”