Numa análise feita de acordo com a antiga Nomenclatura Gramatical Portuguesa (NGP), a frase é constituída do seguinte modo:
Sujeito: «Toda a paz da natureza»
Predicado (o verbo está na conjugação perifrástica): «vem sentar-se»
Complemento circunstancial de lugar: «a meu lado»

Numa análise baseada na Terminologia Linguística para os Ensinos Básico e Secundário (TLEBS), temos:

Sujeito: igual à NGP
Predicado: «vem sentar-se a meu lado»
Grupo verbal (constituído por complexo verbal): «vem sentar-se a meu lado»
Verbo auxiliar: «vem»
Verbo principal: «sentar-se»
Complemento preposicional do verbo (sentar-se): «a meu lado».

«A meu lado» é complemento do verbo sentar-se, uma vez que faz parte da estrutura conceptual do mesmo (quem se senta... senta-se num determinado lugar). Esta relação torna-se mais clara se aplicarmos um dos testes que permitem distinguir complementos de modificadores: *«O que fez a natureza a meu lado?»/«Sentou-se»; «O que fez a natureza?»/«Sentou-se a meu lado». O segundo par é mais correcto que o primeiro, o que sugere que a expressão «a meu lado» é complemento e não modificador do verbo.