1. Que não é conjunção integrante, como diz.

2. Que não é pronome relativo. As orações relativas que têm como antecedente outra oração apresentam um carácter apositivo e constituem um comentário sobre a proposição encerrada na oração anterior. Nesse caso, antecede o pronome relativo uma expressão anafórica:

«Vi televisão durante 2 dias, o/coisa/situação que me deixou deprimida.»

3. Que não é conjunção temporal: o sentido de decurso temporal está a cargo do verbo fazer — daí o uso impessoal do verbo, como refere.

4. Expletivo: é, de entre as opções que põe em consideração, a classificação mais acertada. «Faz dois dias» é um adverbial de tempo focalizado e, como tal, deslocado para a esquerda; tem aí uma mera função de apoio estrutural à alteração canónica da ordem dos constituintes:

«Não vejo televisão faz dois dias» (ordem natural dos constituintes).

«Faz dois dias que não vejo televisão» (ordem dos constituintes que serve a atribuição de foco).

Marcia dos Santos Machado Vieira (da Universidade Federal do Rio de Janeiro) classifica-o como um conector.

(Consultar: http://www.filologia.org.br/xcnlf/15/14.htm)

N. E.: A pergunta 21160 foi, entretanto, reformulada.