A pergunta é um tanto surpreendente, porque, como substantivos comuns, monarquia e república grafam-se com inicial minúscula. Apesar disso, se a consulente se refere a locuções formadas por república e um adjectivo, há alguns critérios que se podem seguir em Portugal:

a) usam-se com inicial minúscula os substantivos «que designam organização política ou social, tais como condado, domínio, ducado, estado, grão-ducado, império, marquesado, monarquia, nação, país, principado, protectorado, reino, república, etc., [...] quando seguidos de complementos toponímicos»; ex.: «reino de Nápoles», «república de Veneza» (Rebelo Gonçalves, Tratado de Ortografia Portuguesa, pág. 339);

b) em locuções substantivas constituídas por república e por um adjetivo que refira a nacionalidade ou a etnia, o Vocabulário da Língua Portuguesa, de Rebelo Gonçalves, apresenta maiúscula inicial: «República Argentina», «Republica Dominicana», «República Portuguesa».

Todas estas indicações são relativas à ortografia de Portugal, conforme a estabelece o Acordo de 1945. Para o Brasil, em que ainda vigora o Formulário Ortográfico de 1943, não pude discernir critérios explícitos quanto ao emprego substantivos como república.

De notar, por último, que monarquia não se parece usar-se na designação oficial dos países que sejam regidos por esse sistema político. Em seu lugar, encontramos a palavra reino, que em Portugal segue a convenção enunciada em (a) — «reino da Dinamarca» —, excepto em Reino Unido.