Sugiro a seguinte análise, adoptando a Nomenclatura Gramatical Brasileira de 1959:

«Eles»: sujeito;

«não se vexam dos cabelos brancos»: predicado;

«dos cabelos brancos»: adjunto adverbial ou complemento verbal (objecto indirecto).

O verbo vexar, como envergonhar e outros verbos que exprimem também sentimento (cf. Celso Cunha e Lindley Cintra, Nova Gramática do Português Contemporâneo, pág. 308, e Evanildo Bechara, Moderna Gramática Portuguesa, pág. 178), pode seleccionar um objecto directo, em frases semelhantes à seguinte:

«Os cabelos brancos não vexam os mais idosos.»

No entanto, quando usados pronominalmente, estes verbos passam a ter como parte integrante o pronome reflexo se (envergonhar-se, vexar-se), o qual, por essa razão, não desempenha qualquer função sintáctica.

Mais controversa pode ser a classificação do constituinte «dos cabelos brancos», porque há gramáticos tradicionais que preferem analisar um constituinte introduzido por preposição e seleccionado por um verbo como adjunto adverbial, atribuindo-lhe um valor circunstancial (cf. Bechara, op. cit., pág. 421). Nesta perspectiva, «dos cabelos brancos» será o mesmo que «por causa dos cabelos brancos», ou seja, uma circunstância de causa.

Ainda no âmbito tradicional, outros gramáticos diriam que «dos cabelos brancos» é um complemento verbal. É o caso de Evanildo Bechara (idem, págs. 419/420), que o definiria como complemento relativo. Celso Cunha e Lindley Cintra diriam que se trata de um complemento indirecto, porque é «complemento que se liga ao verbo por meio de preposição» (op. cit., pág. 144).