José Pedro Machado, no seu Dicionário Onomástico Etimológico da Língua Portuguesa, não dá pistas etimológicas claras quando afirma crer que o topónimo português Provença, que ocorre nas regiões de Alenquer, Avis, Elvas, Évora, Figueiró dos Vinhos, Portel, Serpa, Sines e Vila Viçosa, não é o mesmo que Provença, nome de parte do Sul de França. Em contrapartida, a forma Proença, topónimo dos distritos de Lisboa, Coimbra e Castelo Branco (idem), é que está relacionada com o nome da referida região francesa, por intermédio de Proensa, nome em provençal (idem).

Antes de explorar a eventual de ligação de Provença e Provência com o latim prudentĭa, convém também esclarecer que existe provença, forma arcaica alternativa a providência, palavra registada no Grande Dicionário da Língua Portuguesa, de José Pedro Machado, com três significados: «o mesmo que provisão», «dinheiro, víveres que as câmaras adiantavam aos recrutas até se incorporarem nos regimentos» e «o mesmo que providência». Este substantivo poderia muito bem estar na origem do topónimo, mas não tenho dados que confirmem tal hipótese.

Dito isto, não encontrei confirmação da etimologia proposta pelo consulente, como também não encontrei a ribeira da Prudência na base de dados em linha do Instituto Geográfico do Exército. 

Quanto à descrição dos processos fonéticos na evolução de prudentĭa a provença, eis uma série de curtos comentários:

a) «passou pela queda do [E] intervocálico» — não encontro E latino intervocálico no étimo em análise;

b) «evolução de [TI] para [CI] e [Ç]» — o "TI" tem de incluir um ĭ breve seguido de vogal para se tornar a africada [ts] e depois a fricativa [s], representados por <c>, antes das letras e ou i, e ç.

c) «elevação do [U] para [O] fechado» — se [u] passa a ser articulado [o] ("ó fechado"), houve um abaixamento da vogal e não a sua elevação; além disso, não estou certo de [u] > [o], porque, se a vogal era longa ([ū]), como encontro indicado (ver Dicionário Latim-Português da Porto Editora), não poderia passar a [o], a menos que a forma em latim vulgar tenha vogal breve ou se trate de um termo erudito ou semierudito.

d) «aparecimento da fricativa [V] para o lugar do que outrora tinha sido [D]» — [d] latino parece passar a [v], como mostra AUDIRE > ouvir; mas não se pode esquecer que a evolução não foi asim tão simples (o * indica formas conjecturais e não atestadas): AUDIRE > *odir > oir > ouir > ouvir;

e) «passando possivelmente pela aspiração representada por [H], como também apresenta José Pedro Machado)» — não encontro tal aspiração descrita por Machado (op. cit.).