Quanto à classe de palavras, e é uma conjunção coordenativa.
Dentro da subclasse destas conjunções, e é uma conjunção coordenativa copulativa.
Esta classificação mantém-se — conjunção coordenativa copulativa — para os diferentes casos em que e ocorra:
«O João foi ao cinema, e a Maria encontrou-o.»
«Comprei arroz e legumes.»
Na frase que nos apresenta – «O cão e o gato dão-se bem» –, a conjunção coordenativa copulativa e ocorre como elemento coordenado de um grupo nominal («o cão e o gato») que, aqui, tem a função sintáctica de sujeito. Verificando-se, aí, um caso em que houve «a junção de duas ou mais unidades linguísticas com a mesma categoria e/ou com a mesma função sintáctica» (Dicionário Terminológico).