O plural de arco-íris é arcos-íris, ou seja, apenas o primeiro nome assume a forma plural.

Note-se que arco-íris é uma palavra composta, isto é, formada a partir da junção de duas palavras que quando unidas formam uma outra com um sentido próprio. A estrutura das palavras compostas depende da relação sintática e semântica entre os seus membros, o que tem consequências na forma como flexionam em número.

Regra geral, quando os termos compostos são constituídos por dois nomes, ambos assumem a sua forma plural, como por exemplo, cidades-estados (singular de cidade-estado).

Contudo, no caso de arco-íris, a forma do plural da segunda palavra é a mesma do singular, ou seja, íris é um nome invariável e, por isso, não flexiona em número. Neste sentido, apenas a primeira palavra (arco) pluraliza, uma vez que é a única do composto que apresenta variação em número.

Áudio disponível aqui:

[AUDIO: Plural de arco-íris _ Inês Gama]

Nota: No contexto do português do Brasil, são vários os dicionários (veja-se, por exemplo, Houaiss ou Michaelis) que assumem que a palavra arco-íris é invariável e, por isso, não flexiona no plural.