É portuguesmente, segundo o «Prontuário Universal» de D'Silvas Filho, consultor do Ciberdúvidas, que cita o decreto-lei n.º 32/73, de 1973. Assim, «deixaram de se pôr acentos graves ou circunflexos nos advérbios em -mente, derivados de adjectivos com acento agudo ou circunflexo; ex.: avidamente, candidamente, portuguesmente, somente, etc. Pelo mesmo decreto, deixou de se pôr este acento nas formas derivadas que contêm sufixos que começam por z; ex.: aneizinhos, avozinho, bençãozinha, chapeuzinho, etc. (mas reparar que o til é transmitido - bençãozinha...).» Também no «Dicionário de Questões Vernáculas» (brasileiro) de Napoleão Mendes de Almeida, pág. 430, está portuguesmente, concluindo assim: «O acento circunflexo do adjetivo desaparece: decreto 5765, de 18.12.1971.»

Em conclusão, tanto em Portugal como no Brasil, a forma correcta é portuguesmente.