O sujeito é «muitas delas», que está no plural. Concordando o predicado com o sujeito da frase, o verbo terá de estar no plural: «têm».

De salientar que o sujeito associado à forma verbal têm é toda a expressão «muitas delas». Um sujeito não vem preposicionado; só se tal acontecer em situações de construção de foco. Por exemplo, em «De mim é que falam» seria possível ver «de mim» como um sujeito, mas no fundo trata-se de uma estratégia para focalizar um constituinte que é realmente o complemento de «falam». É, portanto, impossível que o sujeito da frase em questão seja apenas *«delas».

No caso em análise, a preposição de contrai-se com elas, para completar o emprego do quantificador muitas. Por outras palavras, é a associação do quantificador muitas, da preposição de e do pronome elas que realiza o sujeito da oração «mas muitas delas têm problemas em casa». Atendendo ao contexto, a expressão «muitas delas» é equivalente a muitas das crianças, com preposição depois de muitas, ou muitas crianças, sem preposição.