Vejamos então as frases:

• Me irrita saber que esses incompetentes nem sequer se preocupassem em colher informações correctas.
• Me irrita saber que esses incompetentes nem mesmo se preocupassem em colher informações correctas.

Não parece fácil estabelecer com precisão a diferença entre nem sequer e nem mesmo, embora sintamos que não são frases perfeitamente sinónimas.

Se fosse conhecido o contexto da frase e/ou a situação em que foi empregada, talvez se pudesse estabelecer com nitidez a diferença entre a frase (a) e a (b). No entanto, vejamos as frases referidas:

• Nem sequer tem o sentido de nem ao menos. Isto é, havia várias coisas ou assuntos com que se deviam preocupar, mas não estiveram para isso. Ao menos podiam-se ter preocupado em colher as informações correctas (ou outras) por ser isso talvez o mais fácil ou o mais importante, não sabemos, pois que não há precisão naquilo que se diz.
• Em muitas situações, o vocábulo mesmo dá-nos a noção de precisão, que não encontramos em sequer. Vejamos, por exemplo, as seguintes frases:
  • Fui à serra da Estrela e estive no cimo, mesmo no cimo.
  • Foi ele mesmo que me comunicou isso.
  • Foram mesmo estas as palavras que o João me disse.
  • A locução nem mesmo tem, pelo menos parece, a ideia de precisão que não temos na frase (a). Isto é, foi precisamente neste aspecto em que «esses incompetentes» não se preocuparam: em colher informações correctas.

Eis, pois, a diferença entre as duas frases: a frase (b) é mais precisa do que a frase (a) naquilo que nos transmite – pelo menos parece.

Não sei se o nosso prezado consulente concorda. Se não, estou ao seu dispor.