Entende-se por Morfologia o conjunto de estudos que tem como objeto a formação e estrutura das palavras. É uma área bastante polêmica no estudo da linguagem natural e especialistas ainda debatem sobre o lugar e a importância que esses estudos devem ter na construção de uma teoria da gramática. Assim como a fonologia estuda a maneira como os sons da língua se organizam para formar palavras e expressões significantes e a sintaxe, a maneira como os elementos se organizam para formar as frases de uma dada língua, a morfologia estuda a maneira como as palavras são formadas e como seus elementos se organizam para constituir o léxico de uma língua. Ou seja, a Morfologia busca determinar, analisar e, quando possível, organizar em conjuntos paradigmáticos os elementos menores que as palavras. Esses elementos são as menores unidades com significado e as menores unidades que podem ser analisadas gramaticalmente numa língua, mas não devem ser confundidas com as sílabas que são unidades sonoras mas sem significado. Vejamos os seguintes exemplos:

representar –> representação
encantar –> encantamento
atual –> atualmente
belo –> beleza
homenagem –> homenagear

Temos palavras, também chamadas bases, que deram origem a outras palavras pelo acréscimo de elementos menores chamados sufixos. Os sufixos que aparecem nos exemplos têm, em geral, um significado que está relacionado com o grupo de palavras que se obtém como resultado do seu acréscimo. Assim, temos:

verbo+ -ação; -mento = forma um nome/substantivo que indica resultado de uma ação
adjetivo+ -mente = forma um advérbio que indica modo
adjetivo+ -eza = forma um nome que indica a característica básica do adjetivo que lhe dá origem
nome+ ar = forma um verbo que indica a atividade baseada no nome que lhe dá origem

Se tentarmos fragmentar as novas palavras formadas obteremos elementos que podem ser identificados e isolados. Entretanto, esses elementos não têm, em sua maioria, existência independente no uso da língua. Assim temos:

represent + ação
encanta + mento
atual + mente
bel + eza
homenage + ar

Os estudos em Morfologia tentam, em geral, estabelecer regras com um grau de generalidade razoável que possam determinar que tipo de sufixo é acrescentado a que tipos de bases e o que obtemos com maior probabilidade como resultado dessas operações. Há limitações de ordem semântica, por exemplo, para o acréscimo de sufixos. Embora janela seja um nome, dificilmente se aceitará o verbo "janelar". Assim como há limitações determinadas pelo uso de um sufixo em detrimento de outro, como mudança e não "mudação". Há ainda zonas de indefinição que representam o uso simultâneo de mais de uma construção com sufixos diferentes para expressar noções semelhantes, sendo que as diferentes formações não têm aceitabilidade de forma generalizada entre os falantes da língua. São exemplos disto os termos: vagueza, vaguidade e vaguidão.

Tudo isso abriga-se sob o rótulo de morfologia derivacional pois dá origem a novas palavras e inclui igualmente sufixos e prefixos. Há uma outra parte dos estudos morfológicos que se chama morfologia flexional e dá conta das modificações que as palavras sofrem mas que não dão origem a novos significados. São exemplos disso as flexões verbais em tempo, pessoa e número; as flexões de gênero, masculino e feminino; as flexões de número, plural e singular; as flexões de grau, aumentativo e diminutivo para os nomes além do grau dos adjetivos, comparativo e superlativo.
Naturalmente, há muita discussão em torno das categorias aqui mencionadas bem como em torno da definição e inclusão de algumas delas dentro da morfologia. Para uma visão aprofundada dessas questões seria interessante consultar autores como:

Anderson, S. A-morphous Morphology. Cambridge, C.U.P., 1992
Aronoff, M. Morphology by itself. Cambridge, MA, MIT Press, 1994
Spencer, A. Morphological theory. Oxford, Basil Blackwell, 1991
Mattoso Câmara Júnior, J. Estrutura da língua portuguesa. Petrópolis, Vozes, 1970
Basílio, M. Estruturas lexicais do português. Petrópolis, Vozes, 1980
Além disso, a página da professora Alina Villalva, da Universidade de Lisboa, tem indicações e muita informação interessante sobre o assunto:
http://www.fl.ul.pt/dlgr/pessoais/a_villalva/