Admitindo a existência de ambiguidade na frase apresentada pela consulente, é possível atribuir à palavra logo as duas categorias gramaticais: conjunção ou advérbio.

1.ª leitura: logo (advérbio)

1) «A proclamação propagou-se logo por todo o reino.»

2.ª leitura: logo (conjunção)

2) «[Oração subordinante ausente], logo, se propagou por todo o reino a proclamação.»

Do meu ponto de vista, a leitura menos imediata é a 2.ª, uma vez que o clítico -se se encontra em posição de próclise, e a palavra logo, enquanto conjunção, não é desencadeadora de próclise:

3) «O microfone deixou de funcionar, logo, arranjou-se forma de o substituir.»