A forma correcta de escrever é director-presidente (ou diretor-presidente, no Brasil), em caixas baixas, por se tratar da designação de um cargo, tal como «primeiro-ministro», «director-geral», entre outros. Diferente será, por exemplo, «Direcção-Geral do Ambiente», designação oficial de uma instituição; mas «aquela direcção-geral». 

Cf. Maiúsculas e minúsculas, in Respostas Anteriores