Sim, escreve-se averigúe (com acento no u). É a 1.ª pessoa do singular do conjuntivo [subjuntivo] do verbo averiguar, que se conjuga como o verbo enxaguar. Conjugam-se assim todos os verbos terminados em -aguar, -iguar, -iquar e -inquar. Refira-se que o u leva acento nas formas tónicas seguidas de e.