Na expressão «mortinho por chegar a casa», mortinho não representa nenhuma função na oração porque a dita expressão não é uma oração. Mas esta expressão pode aparecer como um predicado numa oração, sendo mortinho o núcleo do predicado. Morfologicamente, mortinho é um adjectivo e é formado a partir do adjectivo morto (que também pode ser um substantivo, mas com outras acepções) através do sufixo -inho.

Expressões sinónimas/sinônimas seriam «desejoso, ansioso, impaciente, ávido, dominado pelo desejo de, sôfrego, angustiado, preocupado, consumido, afligido, inquieto, que tem uma grande vontade ou desejo».

No caso do Inglês, existe uma expressão parecida à nossa, também ela informal e com o mesmo significado: «to be dying for something»/«to be dying to» + Verbo. Quanto às outras línguas não posso ajudar.