«Dorme, que eu penso»

A conjunção que estabelece, hoje, uma relação que é sempre inserida na subordinação. No caso concreto, a conjunção pode estabelecer dois tipos de relação diversos:

Causal, equivalendo a frase a: «dorme, porque eu penso (no assunto)».
Temporal, com o sentido: «dorme, enquanto eu penso».

Só um contexto mais alargado nos permitiria decidir sobre um ou outro valor. Salienta-se ainda que, em ambos os casos, se não exclui a hipótese de a frase, potencialmente, veicular uma crítica.

«Não sei se existe ou se dói»

O se é, nesta frase, uma conjunção completiva, que introduz uma frase substantiva
[objectiva, porque desempenha a função de complemento directo], que equivale a uma interrogativa indirecta. Na verdade, com o verbo saber, quando está na forma negativa, utiliza-se se, em vez de que, como conjunção: «Sei que já vieste. Não sei se já vieste». Note-se que estamos perante uma frase complexa em que há duas frases subordinadas a uma só subordinante («Não sei»), mas coordenadas entre si, através da conjunção coordenada (ou coordenativa) disjuntiva ou («se existe ou se dói»).