Transmito e transcrevo a informação facultada pelo Dicionário Houaiss.

O verbo empurrar tem etimologia obscura, embora possa considerar-se que tem relação com o espanhol empujar. Quanto a barriga, trata-se de um forma divergente (por extensão metafórica) de barrica, que terá a seguinte origem (idem): «fr. barrique (1455) "id.", com orig. prov. no gaulês *barrica, do qual também se origina a f. vulg. barriga e barril; segundo alguns autores, talvez conexo com [a raiz] bar-, uma vez que a barrica é feita de barras; var. divg. vulg. barriga, ´ventre` p. ext. metf. da forma bojuda da barrica à parte do corpo [...].»

Quanto à locução «empurrar com a barriga», que é um brasileirismo com o significado de «não tomar as providências necessárias; adiar soluções» (idem), não pude ter acesso a informação precisa sobre as circunstâncias históricas que motivaram o seu aparecimento e a sua fixação no uso. O mais que consigo inferir é que a expressão é uma metáfora, sugerindo um atitude preguiçosa e negligente, que não envolve muito esforço consciente e organizado.