Não é fácil dizer se esta denominação se escreve ou não sem hífen. E não admira, porque não temos estudo tão vasto como o da Língua Portuguesa.

Emprega-se o hífen, quando «o conjunto dos elementos forma um sentido único ou uma aderência de sentidos», conforme ensina o "Acordo Ortográfico" em vigor.

Não parece que em treinador adjunto exista um tal «sentido único» e uma tal «aderência de sentidos», que vemos e sentimos em «cirurgião-chefe». Basta verificarmos que cirurgião-chefe é um cargo permanente, com uma profissão, o que não se dá, penso eu, com o treinador-adjunto. Estes dois vocábulos parece não formarem uma unidade tão coesa como a de cirurgião-chefe. Mas os desportistas sabem isto melhor do que eu.

Se o treinador-adjunto for um cargo, consideramos adjunto como um substantivo. Então escreveremos treinador-adjunto. Mas se o vocábulo adjunto for um qualificativo de treinador, será adjectivo, e então escreveremos treinador adjunto, tal como treinador principal / secundário. E tudo isto, porque a palavra adjunto tanto pode ser um substantivo como um adjectivo. Os desportistas sabem isto melhor do que eu. É qualificativo ou não?