"Que" pode ter diferentes valores morfológicos: pode ser um pronome relativo ou diferentes conjunções (integrante, consecutiva, adversativa, etc.).
"Quê" é um substantivo sempre.
Por exemplo:
1. "O quê?"
2. "Admira-se; não tem de quê."
3. "Este latim é fácil, mas o latim de Horácio tem os seus quês."