O verbo promover pede complemento directo sem preposição, que é o caso de qualquer dos exemplos que apresentou.

O usual é o emprego da expressão “promover a saúde” (ex.: “Com este tipo de acções, promove-se a saúde pública.”), e não “promover saúde”, mas a utilização, ou não, do artigo definido (“a”) antes do respectivo substantivo (“saúde”) depende do contexto, do que se pretende dizer, se se quer particularizar, especificar (“a saúde”), se se quer generalizar, dar uma maior amplitude à palavra, ou uma certa conotação (“saúde”), pelo que poderá acontecer que, num determinado contexto, esta segunda construção seja aceitável.

A palavra “saúde” sem artigo é utilizada em expressões como as seguintes: “vender saúde”, “ter saúde”, “estar de boa saúde”.