Na norma-padrão do português brasileiro, usa-se por quê em três contextos:

(1) quando vem sucedido de sinal de pontuação (este é o mais frequente);
(2) quando finaliza uma oração;
(3) quando vem antes de conjunção coordenativa ligando dois termos.

Em todos os três casos, o monossílabo tônico terminado em e é acentuado com acento circunflexo (quê), conforme a regra de acentuação gráfica.

Note que a vogal e é pronunciada claramente com som de ê – é bem diferente da pronúncia do que numa fala espontânea e dinâmica em «Não sei por que ela faltou à aula», em que o som de "que" é comumente empregado atonamente, assim: "qui" ("Não sei pur qui ela faltou à aula").

Essa pronúncia tônica do quê é o que determina o uso de «Não sei por quê nem como aquilo ocorreu» ou «Sem questionarem por quê ou para quem ia o prêmio, decidiram participar do jogo», que exemplificam o caso (3).

Exemplos do caso (1):

– Agora você soube por quê, certo?
– Sem seu esclarecimento, nunca entenderia por quê.
– Por quê? Não é possível!

Exemplos do caso (2):

– Não consigo compreender certas atitudes suas, ainda que você me diga que, às vezes, entender por quê é difícil mesmo.
– Descobrir por quê ficou fácil, sobretudo depois que eles foram denunciados.

Observação: não se usa por quê antes de vírgula marcando intercalação; exemplo: «O aluno não sabe por que, mesmo depois da explicação, ele foi reprovado pelo professor» (certo); «O aluno não sabe por quê, mesmo depois da explicação, ele foi reprovado pelo professor» (errado).

Sempre às ordens!