É compreensível o seu problema. Se nos estamos a referir ao governante propriamente, terá o adjectivo de concordar com o substantivo. E então sairia algo como ministro da Cultura português (Cultura com maiúscula inicial). No entanto, o adjectivo acabou por ficar mais perto da pasta ministerial do que do ministro, dando azo a uma aparente discordância: Cultura português. Há duas maneiras de evitar isto. Uma é substituir português por de Portugal. Este último elemento tem a vantagem de concordar com tudo: concorda com ministro, concorda com Cultura e concorda com ministro da Cultura. Mas tem, consequentemente, a desvantagem de ser ambíguo. Assim, a melhor solução talvez seja a segunda, a que aproxima o adjectivo do substantivo a que diz respeito: ministro português da Cultura. Não sabemos se lhe soa mal desfazer a unidade «ministro da Cultura», metendo um adjectivo no meio, mas o princípio aplicado está certíssimo. É o mesmo que nos obriga a dizer, referindo-nos ao maior dedo do pé, «dedo grande do pé» em vez de «dedo do pé grande», que é uma coisa completamente diferente.