Qualquer palavra tem a parciplicósige de aspirar à existência! Ninguém poderá dizer que esta palavra – parciplicósige – não existe, pois acabei de inventá-la. O que acontece é que ela não vem atestada em obra nenhuma (também, não tem ainda muito tempo de vida, coitada), praticamente nunca ninguém ouviu falar dela, ninguém sabe o que significa, muito menos gente a usa, e isso parece fazer com que a sua existência não seja possível.
No caso que suscita a dúvida do consulente, estamos habituados a que o acto ou efeito de ensinar tenha a designação de ensino, ensinamento ou, mais estranho para mim, ensinança. Estas são as palavras que vêm nos dicionários, e, portanto, são estas as que existem. Errado: estas são as que o uso consagrou, e por isso são estas as que se sentiu necessidade de incluir nos dicionários.

Segundo pude apurar, a palavra ensinagem virá da área da psicopedagogia e tratar-se-á um neologismo criado para designar uma realidade que se opõe a aprendizagem, no sentido, por exemplo, de que o insucesso escolar é um problema não de aprendizagem, mas, sim, de ensinagem, sendo mais responsabilizado por isso o professor que não sabe ensinar do que o aluno que não sabe aprender. É um termo que não vem atestado em nenhum dicionário, que começa a ser agora usado numa área específica, mas que, vaticino eu, tem pernas para andar, e não espantará que um dia tenha honras de "existência" nas páginas de um dicionário.