Dependendo do que pretende dizer, poderá usar uma ou a outra expressão.

Se quiser dizer que é a actuação do cão que é diferente, deverá usar o advérbio (diferentemente), que é um modificador do verbo. Esse cão, que pertence a uma determinada raça, actua diferentemente (= de forma diferente) dos cães de outras raças.

Se, no entanto, quiser dizer que esse cão “não enxerga o homem como uma ameaça” porque é diferente de outros, no sentido de “porque diferente, este cão não enxerga...”, então poderá usar o adjectivo em vez do advérbio.

O advérbio (diferentemente) refere-se à actuação do cão (não enxerga o homem como uma ameaça), enquanto o adjectivo (diferente) se refere ao cão.
Só uma nota final: semanticamente, a frase não é totalmente clara. Ao referir “outras raças”, esperar-se-ia que de seguida se dissesse uma raça de cães, como por exemplo, “Diferentemente de outras raças, o pastor alemão...”. Ao referir “cão”, então seria lógico contrapor-se a outros animais, podendo a frase iniciar-se assim: “Diferentemente de outros animais, o cão...”