Vejamos, então, as frases apresentadas:

(I) É preciso que eles anseiem por dias melhores...

(II) Assim que proporem soluções sérias, não serão...

(III) As pessoas que vêem como importante nossa presença...

Estão correctas as frases (I) e (III). Está errada a frase (II). Vejamos:

a) A frase (I) está correcta, porque a 2.ª oração, subordinada à anterior, integrante, está em correspondência temporal com ela - presente em ambas:

É (presente do indicativo) preciso que... anseiem (presente do conjuntivo)...

Outros exemplos:

É bom que façam/trabalhem/oiçam...

b) A frase (II) está errada, porque a primeira oração (temporal) exige o verbo no futuro imperfeito do conjuntivo ou no presente do conjuntivo, e não no infinitivo pessoal.

Diga-se, pois:

(1) Assim que propuserem soluções sérias...

(2) Assim que proponham soluções sérias...

A frase mais comum é a (1).

Outros exemplos:

Assim que vierem/resolverem/comprarem...

Assim que venham/resolvam/comprem...

c) A frase (III) está correcta. É um presente (vêem) que gera um futuro (serão).