Averigúe, averigúes, averigúe, averiguemos, averigueis, averigúem: é assim que se escreve (e pronuncia) o presente do conjuntivo do verbo averiguar. A 2.ª pes. do singular do imperativo conjuga-se também com acento agudo: averigúe (averigua, averigúe, averiguemos, averiguai, averigúem). 

O verbo averiguar provém do latim verificare, apresentar como verdadeiro. Verificare deu directamente o português verificar, evoluindo mais tarde para a forma sinónima averiguar. Vejamos como:

O c de verificare, por estar entre vogais, sonorizou-se e passou a g; donde, verifigar.

Deu-se a síncope do f e, depois, a contracção dos dois i e a epêntese do u, donde veriguar.

Deu-se a prótese do a, donde averiguar.

A prótese do a ainda hoje é comum:

De sentar-se > assentar-se.

De mandar > amandar.

De levantar > alevantar.

De lembrar > alembrar.

E muitos mais. 

N.E.: averigua, no Brasil e em Portugal, é palavra oxítona (ou aguda): a tónica está na última sílaba (-gua). O mesmo acontece em Portugal com desagua, mas não no Brasil, onde se escreve e diz deságua, com a tónica na penúltima sílaba (palavra paroxítona ou grave).

Nota: no contexto da Convenção Ortográfica de 1945, põe-se acento agudo no u tónico antecedido de g ou q e seguido de e ou i, como, por exemplo, em averigúe e obliqúe.

N. E. (18/1/2017) – Com a aplicação do Acordo Ortográfico de 1990, as formas averigúe, averigúe e averigúem (presente do conjuntivo) perdem o acento agudo e passam, respetivamente, a averigue, averigues e averiguem.