Escreve-se Anchieta, porque, conforme ensina o "Dicionário Onomástico Etimológico da Língua Portuguesa" de José Pedro Machado, provém do basco Anchieta, Ancieta e Anzieta, "abundância de charcos, de pântanos".
Pronuncia-se, pois, /An-chi-ê-ta/.
A grafia Anxeta /An-xê-ta/ deve provir da deturpação de Anchieta.
Pronunciando à pressa, há tendência para suprimir o i.