A sua dúvida não é quanto ao pronome relativo que, mas quanto à preposição que o deve acompanhar. É fácil: a preposição que precede o pronome relativo que é a da regência do verbo (predicado) da respectiva oração relativa. Completo os exemplos que dá, para melhor compreensão.

1. "Já chegaram as novas pastas suspensas de que precisávamos ou que precisávamos": o verbo precisar pode ou não ser acompanhado da preposição de. Dizemos "preciso de sair" ou "preciso sair".
2. "Conseguimos realizar o sonho a que aspirávamos": o verbo aspirar no sentido de desejar, almejar, é acompanhado da preposição a.
3. "Poeira das minas que ele aspirou prejudicou-lhe os pulmões": aspirar, no sentido de absorver qualquer substância através da respiração, não é seguido de preposição.
4. "Foram realizados dois debates a que assistiram buscando subsídios": o verbo assistir é acompanhado da preposição a.

   Em resumo, a preposição que acompanha o verbo deve preceder, nas orações relativas, o pronome relativo.